Что значит "алгебраическая функция"

функция, связанная с независимым переменным алгебраическим уравнением.

функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению . А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

называются рациональными, а прочие А. ф. ≈ иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y5 + 3ух4 + x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций , встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная xa (если a ≈ иррациональное число), показательная ах, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией . Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Ро(х, у, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + ┘ +Pn(x, y, z, ...) = 0,════════(1)

где Р0, Р1, ..., Pn≈ какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой ≈ целой рациональной функцией ≈ является многочлен (если P0 = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. ≈ Л., 1948.

Алгебраическая функция — элементарная функция , которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения .

Формальное определение:

Функция F(x, x, …, x) называется алгебраической в точке A = (a, a, …, a), если существует окрестность точки A, в которой верно тождество

где P есть многочлен от n + 1 переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ является алгебраической на интервале ( − 1, 1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

Существует аналитическое продолжение функции $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ на комплексную плоскость , с вырезанным отрезком [ − 1, 1] или с двумя вырезанными лучами ( − ∞,  − 1] и [1, ∞). В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической .

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными .