Большая Советская Энциклопедия
интегралы вида , где R (x, у) ≈ рациональная функция х и , а Р (х) ≈ многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. Под Э. и. первого рода понимают интеграл ═(
-
под Э. и. второго рода ≈ интеграл
где k ≈ модуль Э. и., 0 < k < 1 (х = sin j, t = sin a. Интегралы в левых частях равенств (1) и (
-
называются Э. и. в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях ≈ Э. и. в нормальной форме Лежандра. При х = 1 или j = p/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через
и
Своё назв. Э. и. получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и = a sin a, v = b cos a(a < b). Длина дуги эллипса выражается формулой
где ═≈ эксцентриситет эллипса. Длина дуги четверти эллипса равна E (k). Функции, обратные Э. и., называются эллиптическими функциями .