Что значит "сферическая тригонометрия"

область математики, в которой изучаются зависимости между сторонами и углами сферических треугольников (т.е. треугольников на поверхности сферы), образующихся при пересечении трех больших кругов. Сферическая тригонометрия тесно связана со сферической астрономией.

математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия ). Пусть А, В, С ≈ углы и а, b, с ≈ противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.: ════════════════════════════════(

1. cos а = cos b cos с+ sin b sin с cos А,══════════════(

2. cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,══════════(21)

   sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,═══════(

3. sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;════(31)

   в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R ≈ радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ╝ В ╝ С ╝ А ═(а ╝ b ╝ с ╝ а), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

   Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90╟, а ≈ гипотенуза, b, с ≈ катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

   sin b = sin a sin В,════════════════(1")

   cos a = cos b cos c,══════════════(2")

   sin a cos B = cos b sin c.══════(3")

   Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90╟ - b, 90╟ - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,

   cos а = sin (90╟ - с) sin (90╟ - b)

   или, после преобразования,

   cos а = cos b cos с (формула 2").

   При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:

   ,

   ,

   ,

   .

   При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

   ═══════════════════════════════════════(1▓▓)

   ═════════════════════════════════(3▓▓)

   или более точные формулы:

   ═════(1▓▓▓)

   ═════════(3▓▓▓)

   С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1")≈(3"), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (21)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (31)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 ≈ начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 ≈ начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 ≈ начало 19 вв.) и др.

   Лит. см. при ст. Сферическая геометрия .

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников . Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.