Что значит "производящая функция"

последовательности f0, f1..., fn... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ¹ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f0, f1..., fn... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций fn. Например, если fn= aqn где а и q ≈ постоянные, то П. ф.

если fn ≈ Фибоначчи числа ; f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn+1 + fn, то П. ф.

если fn = Т n (х) ≈ Чебышева многочлены : T0 (х) = 1, Tn (х) = cos (n arc cos x), то П. ф.

и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1≈2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. ≈ Л., 1949.

Производящая функция:

• Производящая функция моментов — способ задания вероятностных распределений. Обычно используется для вычисления моментов в теории вероятностей .
• Производящая функция последовательности — формальный степенной ряд, коэффициенты которого образуют заданную последовательность.
• Производящая функция канонического преобразования — функция, частные производные от которой задают искомое каноническое преобразование.