Что значит "проективное пространство"

в первоначальном смысле ≈ евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, называемыми также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы ). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость ≈ одной несобственной прямой, всё пространство ≈ одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные ≈ разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные ≈ разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

П. п. можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четверок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как плоскости П. п., а числа называются однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки (x1: x2: x3: x4) и плоскости (u1: u2: u3: u4) выражается равенством:. Аналогичнымобразом вводится понятие n-мерного П. п., играющего важную роль в алгебраической геометрии, причём координатами его могут быть элементы некоторого тела k. В более общем смысле П. п. ≈ совокупность трёх множеств элементов, называется соответственно точками, прямыми и плоскостями, для которых определены отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии . А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин показали, что если П. п. над телом k есть связное компактное топологическое пространство, в котором прямая непрерывно зависит от двух принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то k есть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов.

Лит. см. при ст. Проективная геометрия .

Проекти́вное простра́нство над полем K — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств ) некоторого линейного пространства L(K) над данным полем. Прямые пространства L(K) называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело K.

Если L имеет размерность n + 1, то размерностью проективного пространства называется число n, а само проективное пространство обозначается KP и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).

Переход от векторного пространства L(K) размерности n + 1 к соответствующему проективному пространству KP называется проективизацией пространства L(K).

Точки KP можно описывать с помощью однородных координат .