Что значит "ошибок теория"

раздел математической статистики, посвященный численному определению значений величин по данным измерений. На основе теории ошибок разработана методика выявления и оценки погрешностей (ошибок) измерений.

раздел математической статистики , посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка ). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов. О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки ) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок. Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x1, x2,..., xn. Разности d1 = x1 ≈ a,┘, dn = xn ≈ a называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все di трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d1,..., dn. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Ed1 =...= Еdn называется систематической ошибкой, а разности d1≈ b,..., dn≈ b ≈ случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0, и в этой ситуации d1,..., dn суть случайные ошибки. Величину , где а ≈ квадратичное отклонение , называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений , а разности D1 = x1≈ ,..., Dn = xn ≈ ══называются кажущимися ошибками. Выбор ═в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка ═с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон ); оценка ═лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть D = E ( ≈ а)2 = s2/n. Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки di подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина ═имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s2/n. Если распределения di в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы , не меньше D. Если же распределение di отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места. Если дисперсия s2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной (Es2 = s2, т. е. s2 ≈ несмещенная оценка для s2), если случайные ошибки di имеют нормальное распределение, то отношение подчиняется Стьюдента распределению с n ≈ 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а » ═(см. Наименьших квадратов метод ). Величина (n ≈

1. s2/s2 при тех же предположениях имеет распределение c2 (см. «Хи-квадрат» распределение) с n ≈ 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s » s. Можно показать, что относительная погрешность |s ≈ s|Is не будет превышать числа q с вероятностью

   w = F (z2, n ≈ 1) ≈ F (z1, n ≈ 1),

   где F (z, n ≈ 1) ≈ функция распределения c2,

   , .

   Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

   Л. Н. Большев.