Большая Советская Энциклопедия
функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом l должно иметь место равенство:
f (lx, lу,..., lu) = lnf (х, y,..., u),
где n ≈ некоторый определённый показатель («показатель однородности», или «измерение О. ф.»). Например, функции
х2≈ 2у2; (x≈ y≈3z)/z2+xyz2;
суть однородные с измерениями, соответственно, 2, ≈1, 4/3. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала ═такой функции f (x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:
.
О. ф. часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b,..., l), где а, b,..., l ≈ длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма
усечённого конуса правая часть ≈ О.ф. h, R и r измерения 3.
Википедия
Однородная функция степени q — числовая функция $f:\R^n\to\R$ такая, что для любого $\mathbf{v}\in\R^n$ и $\lambda \in\R$ выполняется равенство:
f(λv) = λf(v),причём q называют порядком однородности.
Различают также
- положительно однородные функции, для которых равенство выполняется только для положительных λ (λ > 0),
-
абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
f(λv) = ∣λ∣f(v), - ограниченно однородные функции, для которых равенство выполняется только для некоторых выделенных значений λ,
- комплексные однородные функции f : C → C для которых равенство справедливо при v ∈ C и $\lambda \in\R$ или λ ∈ C (а также для комплексных показателей q ∈ C).