Что значит "нормальный алгорифм"

одно из современных уточнений понятия алгоритма , получившее распространение в исследованиях по конструктивной математике . Предложено в 1950 А. А. Марковым , впервые систематически и строго построившим на основе этого уточнения общую алгоритмов теорию . Н. а. эквивалентны частично-рекурсивным функциям (см. Рекурсивные функции ), а следовательно, и Тьюринга машинам . Концепция Н. а. специально приспособлена для реализации алгоритмов, действующих над словами в тех или иных алфавитах. При этом под алфавитом в математике понимается любой конечный набор четко отличимых друг от друга графических символов (букв), а под словом в данном алфавите ≈ произвольная конечная цепочка букв этого алфавита. Цепочка, вовсе не содержащая букв, также считается словом в данном алфавите (пустое слово). Например, цепочки «ииаам», «книга», «гамма» являются словами в русском алфавите, а также в шестибуквенном алфавите {к, н, и, г, а, м}. Элементарным актом преобразования слов в алгоритмических процессах, задаваемых Н. а., является т. н. операция «подстановки вместо первого вхождения». Пусть Р, Q, R ≈ слова в некотором алфавите. Результатом подстановки Q вместо первого вхождения Р в R называется слово å (R, Р, Q), получаемое следующим образом. Если Р входит в R, т.е. R представимо в виде S1PS2, то среди таких представлений отыскивается представление с наиболее коротким словом S1 и полагается å (R, Р, Q) = S1QS2. Если же Р не входит в R, то å (R, Р, Q) = R. Так, å (гамма, а, е) = гемма. Для задания Н. а. ═необходимо фиксировать некоторый алфавит А, не содержащий букв «╝» и « ╥ », и упорядоченный список слов вида Р ╝ Q (простая формула подстановки) или Р ╝ ╥ Q (заключит. формула подстановки), где Р и Q ≈ слова в А. Формулы подстановок принято записывать друг под другом в порядке следования, объединяя их слева фигурной скобкой. Получающаяся фигура называется схемой Н. а. Исходными данными и результатами работы Н. а. ═являются слова в А (сам Н. а. ═называется Н. а. в алфавите А). Процесс применения к слову R Н. а. ═со схемой вида где di(1 £ i ═£ n)═означает «╝» или «╝», разворачивается следующим образом. Отыскивается наименьшее i, при котором Pi входит в R. Если все Pi не входят в R, то работа ═заканчивается и её результатом считается R. Если требуемое i найдено, то переходят к слову å (R, Pi, Qi). При этом в случае, если использованная формула подстановки PidiQi была заключительной (di = ╝ ), работа ═заканчивается и результатом считается å (R, Pi, Qi). Если же формула PidiQi ≈ простая, то описанная процедура повторяется с заменой R на å (R, Ri, Qi). Пример. Натуральные числа можно рассматривать как слова в алфавите {О, 1} вида 0, 01, 01l,... Н. а. в этом алфавите со схемами {0 ╝ ╥ 01 и {1╝ переводят каждое натуральное число п соответственно в n + 1 и в 0. Множество всех Н. а. замкнуто относительно известных способов комбинирования алгоритмов. Например, по любым двум Н. а. ═и ═можно построить Н. а. , являющийся композицией ═и , т. е. реализующий следующий интуитивный алгоритм: «сначала выполнить алгоритм , затем к результату применять ». Соотношение между интуитивными алгоритмами и Н. а. описывается выдвинутым А. А. Марковым принципом нормализации: всякий алгоритм, перерабатывающий слова в данном алфавите А в слова в этом же алфавите, может быть реализован посредством Н. а. в некотором расширении А. [Легко указать очень простые алгоритмы в А, не реализуемые Н. а. в A; с другой стороны, всегда можно ограничиться двухбуквенным (и даже однобуквенным) расширением A.] Принцип нормализации эквивалентен тезису Чёрча и, аналогично последнему, не может быть доказан из-за неточности интуитивной концепции алгоритма. Лит.: Марков А. А., Теория алгорифмов, М. ≈ Л., 1954 (Тр. Математического института АН СССР, т. 42); Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 197

1. Б. А. Кушнер.