Что значит "многомерное пространство"

пространство, имеющее число измерений (размерность) более трех. Реальное пространство трехмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси координат, то положение каждой точки пространства определится заданием трех действительных чисел - ее прямоугольных координат. Обобщая это положение, называют n-мерным евклидовым пространством совокупность всевозможных систем из n чисел "точек" этого пространства.

пространство, имеющее число измерений ( размерность ) более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости ≈ двумерны, прямые ≈ одномерны. Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее выражение эта идея нашла в таких понятиях, как топологическое пространство и, в частности, метрическое пространство .

Простейшими М. п. являются n-мерные евклидовы пространства , где n может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного евклидова пространства определяется заданием трёх её прямоугольных координат, «точка» n-мерного евклидова пространства задаётся n «координатами» x1, x2, ..., xn (которые могут принимать любые действительные значения); расстояние r между двумя точками M(x1, x2, ..., xn) и М"(у1, y2, ..., yn) определяется формулой

аналогичной формуле расстояния между двумя точками обычного евклидова пространства. С сохранением такой же аналогии обобщаются на случай n-мерного пространства и другие геометрические понятия. Так, в М. п. рассматриваются не только двумерные плоскости, но и k-мерные плоскости (k < n), которые, как и в обычном евклидовом пространстве, определяются линейными уравнениями (или системами таких уравнений).

Понятие n-мерного евклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию n переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трёх). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n-мерного евклидова пространства.

Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырёхмерным пространством, элементами которого являются т. н. «мировые точки». При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определённое положение в пространстве с определённым положением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами вместо трёх). Квадратом «расстояния» между «мировыми точками» М▓(х▓, y▓, z▓, t▓) и М▓▓(х▓▓, y▓▓, z▓▓, t▓▓) (где первые три «координаты» ≈ пространственные, а четвёртая ≈ временная) естественно считать здесь выражение

(M▓ M▓▓)2 = (x▓ - x▓▓)2 + (y▓ ≈ y▓▓)2 + (z▓ ≈ z▓▓)2 ≈ c2(t▓ ≈ t▓▓)2,

где с ≈ скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство «псевдоевклидовым».

Вообще n-мерным пространством называется топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность n. В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n-мерного евклидова пространства.

Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также лит. см. в ст. Геометрия .