Что значит "логарифмическая функция"

функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y ? lnx ее значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции logax при произвольных основаниях а > 0, а ? 1.

, функция, обратная к показательной функции . Л. ф. обозначается y = lnx; (

1. её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

   х = еу (

2. (е ≈ неперово число ). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

   y = logaX,

   где а > 0 (а ¹ 1) ≈ произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:

   logax = MInX,

   где М = 1/In а. Л. ф. ≈ одна из основных элементарных функций ; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

   Inx+lny = lnxy.

   Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

   ln(1 + x) = x

   Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

   ,

   .

   Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

   Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда .

   Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

   Inz = In½z½+ i arg z,

   где arg z ≈ аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

   Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ╠1, ╠2, ...

   Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

   .