Что значит "линейчатая геометрия"

раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными ≈ коэффициентами а, b, р, q в уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции ≈ совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых ≈ совокупность касательных к одной какой-либо поверхности. Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M1(x1, y1, z

1. и M2(x2, y2, z

2. тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:

   x1= x1 ≈ x2, x2 = y1 ≈ y2, x3 = z1 ≈ z2, x4 = y1z2 ≈ y2z1, x5 = x2z1 ≈ x1z2, x6 = x1y2 ≈ x2y1.

   Числа x1, x2, x3 являются компонентами вектора , а x4, x5, x6 ≈ компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа xi удовлетворяют соотношению

   x1x4 + x2x5 + x3x6 = 0. (1)

   Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел xi, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа xi (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение

   ═(2)

   определяет линейный комплекс ≈ совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке («полюсу») пространства можно поставить в соответствие плоскость («полярную плоскость»), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (ось), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию

   a1a4 + a2a5 + a3a6= 0.

   Система двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию ≈ совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (которые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополостным гиперболоидом, либо гиперболическим параболоидом.

   Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Л. г. разрабатывалась в работах Ф. Клейна и русского математика А. П. Котельникова. Дифференциальная геометрия конгруэнций, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итальянских математиков Л. Бианки, Г. Санниа и французского математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельниковым «винтового» исчисления советским математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнций. Проективная теория конгруэнций построена в 1927 советским математиком С. П. Финиковым.

   Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л. ≈ М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М. ≈ Л., 1934; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. ≈ Л.,1937; его же, Теория конгруэнций, М. ≈ Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1≈2, М. ≈ Л., 1947≈48; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М. ≈ Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1≈2, Lpz., 1902≈06.

   Э. Г. Позняк.