Большая Советская Энциклопедия
аналитические функции, определяемые для |z|<1c помощью гипергеометрического ряда . Название «Г. ф.» было дано Дж. Валлисом (1650). Г. ф. являются интегралами гипергеометрического уравнения
z (1≈z)w» + [g≈(1 + a+ bz]w"≈abw = 0.
Это уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1 и ¥ и является канонической формой уравнений гипергеометрического типа. Важнейшие специальные функции математического анализа являются интегралами уравнений гипергеометрического типа (например, шаровые функции ) или уравнений, возникающих из гипергеометрических путём слияния их особых точек (например, цилиндрические функции ). Теория уравнений гипергеометрического типа явилась основой для возникновения важной математической дисциплины ≈ аналитической теории дифференциальных уравнений. Между различными Г. ф.
w = F (a, b; g; z)
имеется большое число соотношений, например:
F (a, 1; g, z) = (1≈z)√1F (1, g ≈a; g; z/(z≈1)).
Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.