Что значит "волновое уравнение"

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением где u(х,t) - искомая функция - отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент t, a - скорость распространения возмущения вдоль струны.

дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

где х, у, z ≈ пространственные переменные, t ≈ время, u = u (х, у, z) ≈ искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а ≈ скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:

u = f (t - r/a)/r,

где f ≈ произвольная функция, a

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):

u = δ (t - r/a)/r

(где δ ≈ дельта-функция ), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:

Ж. Д"Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x - at) + g (x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий .

Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

П. И. Лизоркин.

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных , задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны , а также другие колебательные процессы в сплошных средах ( акустика , преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме ( электродинамике ). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики