Что значит "бесконечное произведение"

произведение бесконечного числа сомножителей, т.е. выражение вида:

произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., un,..., т. е. выражение вида

Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений

pn = u1 u2... un

при n ╝ ¥, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р ≈ его значением, и пишут:

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

а английский математик Дж. Валлис (17 в.) ≈ формулу:

Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера , применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы un ¹ 0 для всех номеров n, чтобы uN > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.≈ Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

В математике для последовательности чисел a, a, a, … бесконечное произведение

∏a = aaa…

определяется как предел частичных произведений aa…a при n → ∞. Произведение называется сходящимся , когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм . Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство lima = 1. Следовательно, логарифм lna определён для всех n, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность {a} это конечное число членов, получим равенство:

ln∏a = ∑lna, 

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого n a ≥ 1, обозначим p = a − 1, тогда a = p + 1 и p ≥ 0, откуда следует неравенство:

1 + ∑p ≤ ∏(1 + p) ≤ exp(∑p)

которое показывает, что бесконечное произведение ∏a сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма ∑p.

Наиболее известные примеры бесконечных произведений, наверное, некоторые формулы для π , такие как следующие два бесконечных произведения, доказанные соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом :

$$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$$
;

$$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right)$$
.