Что значит "специальные функции"

функции различных специальных классов, особенно часто встречающиеся при решении задач математической физики. Основные специальные функции являются решениями линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами: цилиндрические, сферические и др. функции.

(математические), функции различных специальных классов, особенно часто встречающиеся при решении задач математмческой физики. Основными С. ф. являются решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Важнейшие С. ф.: гипергеометрические функции , цилиндрические функции , сферические функции , шаровые функции , Ламе функции , Матьё функции и др. Иногда к С. ф. относят также не выражающиеся через элементарные функции трансцендентные функции , важнейшими примерами которых являются эллиптические функции , гамма-функция , дзета-функция , интегральный логарифм , интеграл вероятности и др.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М.,1969; Уиттекер Е. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М.,1963; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М.,1968 (лит.).

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики функции, которые не выражаются через элементарные функции . Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов .

Специальные функции возникают обычно из следующих соображений:

• «неберущиеся» интегралы;
• решения трансцендентных уравнений , не выражающиеся в элементарных функциях;
• решения дифференциальных уравнений , не выражающиеся в элементарных функциях;
• ряды , не сходящиеся к элементарным функциям;
• математическое выражение свойств чисел;
• необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

Большинство специальных функций являются трансцендентными .