Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
просяще
нареч. Соотносится по знач. с прил.: просящий (2*).
Примеры употребления слова просяще в литературе.
Даже когда я велела аббату не изводить меня вопросами, а помочь, голос мой звучал, как-то надтреснуто, почти просяще.
Источник: библиотека Максима Мошкова