Большая Советская Энциклопедия
Информация в кибернетике. Естественнонаучное понимание И. основано на двух определениях этого понятия, предназначенных для различных целей (для информации теории , иначе называемой статистической теорией связи, и теории статистических оценок ). К ним можно присоединить и третье (находящееся в стадии изучения), связанное с понятием сложности алгоритмов. Центральное положение понятия И. в кибернетике объясняется тем, что кибернетика (ограничивая и уточняя интуитивное представление об И.) изучает машины и живые организмы с точки зрения их способности воспринимать определённую И., сохранять её в «памяти», передавать по «каналам связи» и перерабатывать её в «сигналы», направляющие их деятельность в соответствующую сторону. ═В некоторых случаях возможность сравнения различных групп данных по содержащейся в них И. столь же естественна, как возможность сравнения плоских фигур по их «площади»; независимо от способа измерения площадей можно сказать, что фигура A имеет не большую площадь, чем B, если A может быть целиком помещена в В (сравни примеры 1≈3 ниже). Более глубокий факт ≈ возможность выразить площадь числом и на этой основе сравнить между собой фигуры произвольной формы ≈ является результатом развитой математической теории. Подобно этому, фундаментальным результатом теории И. является утверждение о том, что в определённых весьма широких условиях можно пренебречь качественными особенностями И. и выразить её количество числом. Только этим числом определяются возможности передачи И. по каналам связи и её хранения в запоминающих устройствах. Пример
В классической механике знание положения и скорости частицы, движущейся в силовом поле, в данный момент времени даёт И. о её положении в любой будущий момент времени, притом полную в том смысле, что это положение может быть предсказано точно. Знание энергии частицы даёт И., но, очевидно, неполную. Пример
-
Равенство
a = b══════════════════════════════════════════════════════════════(1)
даёт И. относительно вещественных переменных a и b. Равенство
a2 = b2══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════(2)
даёт меньшую И. [так как из (1) следует (2), но эти равенства не равносильны]. Наконец, равенство
a3 = b3════════════════════════════════════════════════════════════(3)
равносильное (1), даёт ту же И., то есть (1) и (3) ≈ это различные формы задания одной и той же И.
Пример
-
Результаты произведённых с ошибками независимых измерений какой-либо физической величины дают И. о её точном значении. Увеличение числа наблюдений увеличивает эту И.
Пример 3 а. Среднее арифметическое результатов наблюдений также содержит некоторую И. относительно рассматриваемой величины. Как показывает математическая статистика, в случае нормального распределения вероятностей ошибок с известной дисперсией среднее арифметическое содержит всю И.
Пример
-
Пусть результатом некоторого измерения является случайная величина X. При передаче по некоторому каналу связи X искажается, в результате чего на приёмном конце получают величину Y = X + q, где q не зависит от X (в смысле теории вероятностей). «Выход» Y даёт И. о «входе» X; причём естественно ожидать, что эта И. тем меньше, чем больше дисперсия случайной ошибки q.
В каждом из приведённых примеров данные сравнивались по большей или меньшей полноте содержащейся в них И. В примерах 1≈3 смысл такого сравнения ясен и сводится к анализу равносильности или неравносильности некоторых соотношений. В примерах 3 а и 4 этот смысл требует уточнения. Это уточнение даётся, соответственно, математической статистикой и теорией И. (для которых эти примеры являются типичными).
В основе теории информации лежит предложенный в 1948 американским учёным К. Шенноном способ измерения количества И., содержащейся в одном случайном объекте (событии, величине, функции и т. п.) относительно другого случайного объекта. Этот способ приводит к выражению количества И. числом. Положение можно лучше объяснить в простейшей обстановке, когда рассматриваемые случайные объекты являются случайными величинами, принимающими лишь конечное число значений. Пусть X ≈ случайная величина, принимающая значения x1, x2,..., xn с вероятностями p1, p2,..., pn, а Y ≈ случайная величина, принимающая значения y1, y2,..., ymс вероятностями q1, q2,..., qm. Тогда И. I (X,Y) относительно Y, содержащаяся в X, определяется формулой
где pij ≈ вероятность совмещения событий X = xi и Y = yj и логарифмы берутся по основанию 2. И. I (X, Y) обладает рядом свойств, которые естественно требовать от меры количества И. Так, всегда I (X, Y) ³ 0 и равенство I (X, Y) = 0 возможно тогда и только тогда, когда pij = piqj при всех i и j, т. е. когда случайные величины X и Y независимы. Далее, всегда I (X, Y) £ I (Y, Y) и равенство возможно только в случае, когда Y есть функция от X (например, Y = X2 и т. д.). Кроме того, имеет место равенство I (X, Y) = I (Y, X). Величина
носит название энтропии случайной величины X. Понятие энтропии относится к числу основных понятий теории И. Количество И. и энтропия связаны соотношением
I (X, Y) = H (X) + H (Y) ≈ H (X, Y),════════════════════════════(5)
где H (X, Y) ≈ энтропия пары (X, Y), т. е.
Величина энтропии указывает среднее число двоичных знаков (см. Двоичные единицы ), необходимое для различения (или записи) возможных значений случайной величины (подробнее см. Кодирование , Энтропия ). Это обстоятельство позволяет понять роль количества И. (4) при «хранении» И. в запоминающих устройствах. Если случайные величины X и Y независимы, то для записи значения X требуется в среднем H (X) двоичных знаков, для значения Y требуется H (Y) двоичных знаков, а для пары (X, Y) требуется Н (Х) + H (Y) двоичных знаков. Если же случайные величины X и Y зависимы, то среднее число двоичных знаков, необходимое для записи пары (X, Y), оказывается меньшим суммы Н (Х) + H (Y), так как
H (X, Y) = H (X) + H (Y) ≈ I (X, Y).
С помощью значительно более глубоких теорем выясняется роль количества И. (4) в вопросах передачи И. по каналам связи. Основная информационная характеристика каналов, так называемая пропускная способность (или ёмкость), определяется через понятие «И.» (подробнее см. Канал ).
Если X и Y имеют совместную плотность p(x, y), то
где буквами р и q обозначены плотности вероятности Х и Y соответственно. При этом энтропии Н (X) и Н (Y) не существуют, но имеет место формула, аналогичная (5),
I (X, Y) = h (X) + h (Y) ≈ h (X, Y),═════════════════════════════════════════(7)
где
дифференциальная энтропия X [h (Y) и h (X, Y) определяется подобным же образом].
Пример
-
Пусть в условиях примера 4 случайные величины X и q имеют нормальное распределение вероятностей с нулевыми средними значениями и дисперсиями, равными соответственно s2х и s2q. Тогда, как можно подсчитать по формулам (6) или (7):
Таким образом, количество И. в «принятом сигнале» Y относительно «переданного сигнала» X стремится к нулю при возрастании уровня «помех» q (т. е. при s2q╝ ¥) и неограниченно возрастает при исчезающе малом влиянии «помех» (т. е. при s2q ╝ 0).
Особенный интерес для теории связи представляет случай, когда в обстановке примеров 4 и 5 случайные величины X и Y заменяются случайными функциями (или, как говорят, случайными процессами) X (t) и Y (t), которые описывают изменение некоторой величины на входе и на выходе передающего устройства. Количество И. в Y (t) относительно X (t) при заданном уровне помех («шумов», по акустической терминологии) q(t) может служить критерием качества самого этого устройства (см. Сигнал , Шеннона теорема ).
В задачах математической статистики также пользуются понятием И. (сравни примеры 3 и 3а). Однако как по своему формальному определению, так и по своему назначению оно отличается от вышеприведённого (из теории И.). Статистика имеет дело с большим числом результатов наблюдений и заменяет обычно их полное перечисление указанием некоторых сводных характеристик. Иногда при такой замене происходит потеря И., но при некоторых условиях сводные характеристики содержат всю И., содержащуюся в полных данных (разъяснение смысла этого высказывания даётся в конце примера 6). Понятие И. в статистике было введено английским статистиком Р. Фишером в 1921.
Пример
-
Пусть X1, X2, ..., Xn, ≈ результаты n независимых наблюдений некоторой величины, распределённые по нормальному закону с плотностью вероятности
где параметры a и s2 (среднее и дисперсия) неизвестны и должны быть оценены по результатам наблюдений. Достаточными статистиками (т. е. функциями от результатов наблюдении, содержащими всю И. о неизвестных параметрах) в этом примере являются среднее арифметическое
и так называемая эмпирическая дисперсия
Если параметр s2 известен, то достаточной статистикой будет только X (сравни пример 3 а выше).
Смысл выражения «вся И.» может быть пояснён следующим образом. Пусть имеется какая-либо функция неизвестных параметров j = j (a, s2) и пусть
j* = j*(X1, X2, ..., Xn)
≈ какая-либо её оценка, лишённая систематической ошибки. Пусть качество оценки (её точность) измеряется (как это обычно делается в задачах математической статистики) дисперсией разности j* ≈ j. Тогда существует другая оценка j**, зависящая не от отдельных величин Xi, а только от сводных характеристик X и s2, не худшая (в смысле упомянутого критерия), чем j*. Р. Фишером была предложена также мера (среднего) количества И. относительно неизвестного параметра, содержащейся в одном наблюдении. Смысл этого понятия раскрывается в теории статистических оценок.
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Кульбак С., Теория информации и статистика, пер. с англ., М., 196
Ю. В. Прохоров.